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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.20. Hallar el valor de $k \in \mathbb{R}^{+}$ para que el área de la región limitada por los gráficos de $f(x)=k x^{3}, y=8$ y el eje de ordenadas valga 12.
Respuesta
Otro ejercicio clave para resolver, lo vamos a hacer siguiendo los mismos razonamientos del Ejercicio anterior (y que también vimos en la clase "Hallar $a$ para que el área encerrada entre dos funciones sea...")
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En este caso tenemos dos funciones involucradas:
$f(x) = kx^3$ y $g(x) = 8$
y además, nos imponen el límite de integración $x=0$ (el eje de ordenadas es el eje $y$)
Entonces, arrancamos buscando puntos de intersección:
$kx^3 = 8$
Pasamos $k$ dividiendo, lo podemos hacer sin problemas porque sabemos que $k \in \mathbb{R}^{+}$, es decir, es un número real positivo, no vale cero.
$x^3 = \frac{8}{k}$
Aplicamos raíz cúbica en ambos miembros:
$ x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}} $
Por lo tanto, $f$ y $g$ se intersecan en $ x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}} $ (que es un número mayor a cero, lo ves?)
Ahora, techo y piso... Lo podemos ver de varias formas, una es recordando cómo era el gráfico de $x^3$, eso te va a ayudar un montón a ver que necesariamente $x^3$ es piso y $y = 8$ es techo. Analíticamente también lo podés pensar, yo creo que gráficamente se entiende mejor igual 😉
Planteamos ahora la integral del área:
$A = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx$
Resolvemos la integral, acordate que $k$ es simplemente un número, esta es una integral de tabla :)
$A = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx = (8x - k\cdot \frac{x^4}{4}) \Big|_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4} $
Vamos a reacomodar un poco este resultado (atenti, varias reglas de potenciación usamos acá)
$8 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{2^4}{(k^{1/3})^4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{16}{k^{4/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{12}{k^{1/3}}$
Ahora igualamos el resultado del área a $12$:
$ \frac{12}{k^{1/3}} = 12$
$1 = \sqrt[3]{k}$
Elevamos al cubo ambos miembros:
$k = 1$
Por lo tanto, si $k = 1$ el área encerrada vale exactamente $12$.